Начало см. здесь.

1. Неразбериха с древами

Как и "когда-то очень давно", деревьев на самом деле — два и с ними важно не запутаться. В книге: Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О.  Конкретная математика. Основание информатики, М., Мир, 1998, на стр. 141 в качестве "Stern-Brocot Tree" приведено то же самое дерево, что и по ссылкам:

http://mathworld.wolfram.com/Stern-BrocotTree.html;

http://www.cut-the-knot.org/blue/Stern.shtml;

http://en.wikipedia.org/wiki/Stern-Brocot_tree.

Тогда как у: Айгнер М., Циглер Г.  Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней, М., Мир, 2006, на стр. 106 в контексте обсуждения одной работы Мориса Абрахама Штерна приведено уже другое дерево. Понятно, что оба эти дерева (в "Конкретной математике" и у Айгнера) тесно связаны друг с другом, но все же это — разные деревья.

Чтобы различать их, будем называть то дерево, что у Айгнера — "поверхностным", поскольку оно самым непосредственным образом порождается фундаментальными для всех наших рассмотрений операторами V и H: (см. о них также здесь) если некоторая вершина "поверхностного" дерева помечена положительным рациональным числом x, то левый сын этой вершины будет помечен числом V(x), а правый сын будет помечен числом H(x).

То дерево, которое приведено в "Конкретной математике" на с. 141 связано с операторами V и H более опосредованным образом, поэтому будем называть его "глубинным" или просто "Stern-Brocot Tree".

2. Сравнение двух деревьев

Сравнение двух деревьев. Слева изображено "поверхностное" дерево, а справа —Stern-Brocot Tree. Как отметил juna: http://dxdy.ru/topic16277-60.html, то, что здесь названо "поверхностным деревом", известно под именем "Calkin-Wilf Tree":

http://mathworld.wolfram.com/Calkin-WilfTree.html.

На приведенном ниже рисунке оба дерева дорощены до четвертого уровня.

Можно убрать "строительные леса" вокруг Stern-Brocot Tree. Тогда поставленные рядом деревья будут выглядеть следующим образом:

3. Поверхностное дерево порождается операторами V и H;
глубинное дерево порождается эндоморфизмами φ_V и φ_H

4. Пример: действие эндоморфизма φ_H на терм V(H(p))

Рассматриваем φ_H как новый унарный функциональный символ и формируем "смешанный" терм  φ_H(V(H(p))).
При помощи тождеств:

смысл которых разъясняется здесь: http://dxdy.ru/topic94428-780.html (постинг от 24.12.2016 на странице по указанной ссылке),
мы можем редуцировать (или "переписать") терм  φ_H(V(H(p))) к терму  V(H(H(p)), не содержащему вхождений "нового внешнего" унарного функционального символа φ_H.  Шаги редукции будут выглядеть следующим образом:

Терм  V(H(H(p)), получившийся в результате указанного редукционного процесса, можно интерпретировать как результат действия эндоморфизма φ_H на терм  V(H(p).

Подразумеваемый смысл "исходных" унарных функциональных символов V и H, а также индивидной константы p, можно посмотреть здесь. Будет полезно также рассмотреть приведенный редукционный процесс и в контексте других редукционных процессов в которых участвуют термы со вхождениями унарных функциональных символов V и H. Наподобие процесса, приведенного здесь.