Более правильно здесь, все же, говорить об "алгоритме Антанаиресис", а не об "алгоритме Евклида". О разложении числа в непрерывную (цепную) дробь см. здесь. О "неполных частных" (или "элементах") цепной дроби см. здесь и здесь.