|
7.4.4.3. Калькулятор для вычисления элементов цепной дроби
|
|
Для начала можно воспользоваться
примером Н. М. Бескина: разложить в цепную дробь число
61/27. Набираем в калькуляторе: Числитель =
61, Знаменатель =
27 и нажимаем кнопку "Вычислить". В поле "Элементы цепной дроби" должно получиться:
2; 3, 1, 6.
Проиллюстрируем сказанное на примере разложения дроби
11/8. Вышеприведенный калькулятор построит для нее такие "элементы разложения":
1; 2, 1, 2. Чтобы
"увидеть их воочию", вводим в
визуализаторе алгоритма Евклида
в поля 1-е число и 2-е число значения
11 числителя и
8 знаменателя исходной обыкновенной дроби и нажимаем кнопку "Визуализировать". Визуализатор построит для дроби
11/8 блочную систему, которая изображена ниже.
Структура такой блочной системы непосредственно "показывает" элементы разложения числа 11/8 в цепную дробь.
Для этого нужно мысленно разбить полученную блочную систему на горизонтальные и вертикальные полосы, состоящие из квадратов одинакового размера. При этом нужно двигаться слева-направо и сверху-вниз.
|
Двигаясь таким образом, мы видим сначала горизонтальную полосу, состоящую из одного квадрата со стороной 8, затем вертикальную полосу, состоящую из двух квадратов со стороной 3, затем горизонтальную полосу, состоящую из одного квадрата со стороной 2, и, наконец, вертикальную полосу, состоящую из двух квадратов со стороной 1.
|
Таким образом, получаются элементы
1; 2, 1, 2, составляющие цепную дробь, в которую разлагается обыкновенная дробь
11/8. В
сокращенной нотации это записывается следующим образом:
11/8 = [1; 2, 1, 2].
Более подробно связь этой визуальной модели со структурой древнего алгоритма Антанаиресис разбирается
здесь.
Еще одна яркая геометрическая метафора для разложения числа в цепную дробь это
"звездное небо" Феликса Клейна. На самом деле обе эти метафоры (с прямоугольником, разбиваемым на квадраты, и с "небом") тесным и плодотворным образом связаны друг с другом, как будет показано далее.