Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \
Некоторые факты элементарной математики \ Цепные дроби \

7.4.4.3. Калькулятор для вычисления элементов цепной дроби

Ниже расположен калькулятор, осуществляющий разложение положительных рациональных чисел, представленных в виде обыкновенных дробей, в цепную дробь. Что означает такое разложение, можно посмотреть здесь. Результирующая цепная дробь записывается в сокращенном виде. Калькулятор будет гарантированно работать в браузере Internet Explorer.
Для начала можно воспользоваться примером Н. М. Бескина: разложить в цепную дробь число 61/27. Набираем в калькуляторе: Числитель = 61, Знаменатель = 27 и нажимаем кнопку "Вычислить". В поле "Элементы цепной дроби" должно получиться:
2; 3, 1, 6.

Существует также очень наглядный геометрический способ для разложения обыкновенной дроби m/n в цепную дробь. Он связан с использованием визуализатора алгоритма Евклида. Здесь мы "воочию видим" элементы цепной дроби, что может нам понравиться не меньше, чем Жан-Жаку Руссо (в плане лучшего понимания абстрактных математических конструкций).
Проиллюстрируем сказанное на примере разложения дроби 11/8. Вышеприведенный калькулятор построит для нее такие "элементы разложения": 1; 2, 1, 2. Чтобы "увидеть их воочию", вводим в визуализаторе алгоритма Евклида в поля 1-е число и 2-е число значения 11 числителя и 8 знаменателя исходной обыкновенной дроби и нажимаем кнопку "Визуализировать". Визуализатор построит для дроби 11/8 блочную систему, которая изображена ниже.
Структура такой блочной системы непосредственно "показывает" элементы разложения числа 11/8 в цепную дробь. Для этого нужно мысленно разбить полученную блочную систему на горизонтальные и вертикальные полосы, состоящие из квадратов одинакового размера. При этом нужно двигаться слева-направо и сверху-вниз.
Двигаясь таким образом, мы видим сначала горизонтальную полосу, состоящую из одного квадрата со стороной 8, затем — вертикальную полосу, состоящую из двух квадратов со стороной 3, затем — горизонтальную полосу, состоящую из одного квадрата со стороной 2, и, наконец, вертикальную полосу, состоящую из двух квадратов со стороной 1.
Таким образом, получаются элементы 1; 2, 1, 2, составляющие цепную дробь, в которую разлагается обыкновенная дробь 11/8. В сокращенной нотации это записывается следующим образом: 11/8 = [1; 2, 1, 2].
Более подробно связь этой визуальной модели со структурой древнего алгоритма Антанаиресис разбирается здесь.

Еще одна яркая геометрическая метафора для разложения числа в цепную дробь — это "звездное небо" Феликса Клейна. На самом деле обе эти метафоры (с прямоугольником, разбиваемым на квадраты, и с "небом") тесным и плодотворным образом связаны друг с другом, как будет показано далее.