Последние значительные работы Кантора по теории множеств опубликованы в 1895 и 1897 гг.

В докладе, прочтённом на первом заседании Немецкого математического общества в 1891 г., он доказал, что кардинальное число любого множества меньше кардинального числа множества всех его подмножеств. (Один из способов доказательства представлен на следующем рисунке.)

Бесконечная последовательность множеств, каждое из которых больше предшествующего ему в этой последовательности, может быть построена при рассмотрении всех подмножеств любого заданного множества.

Канторовский диагональный метод показывает, что, допустив взаимно однозначное соответствие f между множеством M и множеством N всех его подмножеств, мы можем построить подмножество S, не включённое в это однозначное соответствие, каковым бы ни было f.

Чтобы понять это построение, рассмотрим конечное множество M, состоящее из красного, голубого и зелёного кружков. Это множество имеет восемь подмножеств (включая пустое множество Ø).

Пусть S будет определено как множество всех элементов m из M, не являющихся членами подмножества f(m), которым соответствует m.

Например, S содержит только голубой кружок. Ввиду того что S является подмножеством множества М, и так как по предположению f определяет взаимно однозначное соответствие, должен существовать некоторый элемент a из M, которому соответствует S, или, другими словами, для которого f(a) совпадает с S.

Элемент a либо является элементом из S, либо нет. Если a — элемент S, то он должен быть и элементом множества f(a), так как f(a) равно S; с другой стороны, если a является элементом из S, то он не может быть элементом множества f(a) по определению S. Значит, a не может быть элементом из S.

Однако, опять-таки по определению S, если a не является элементом из S, то a должен быть элементом из f(a), а так как f(a) равно S, то a должен быть и элементом из S.

Поэтому, каково бы ни было a, предположение, что множество M можно поставить во взаимно однозначное соответствие с множеством всех его подмножеств, приводит к противоречию, а потому это предположение следует отбросить.

Также доказывается, что, даже если множество бесконечно, множество его подмножеств больше первоначального множества.

Бесконечная последовательность всё больших бесконечных множеств может быть построена путём образования множества N всех подмножеств какого-либо бесконечного множества М, затем образования множества P всех подмножеств множества N и так далее. В этой последовательности нет наибольшего множества.

Несколько лет спустя он получил такое следствие из этого результата: кардинальное число континуума равно кардинальному числу 2א₀א.

Он надеялся, что это следствие вскоре приведёт к решению проблемы континуума, поскольку её теперь можно было сформулировать в алгебраической форме: 2א₁א = א₀א.

Однако аргументы, использованные Кантором при доказательстве утверждения о кардинальном числе множества подмножеств, привели к существенно иным заключениям.

Наиболее важное из них сделал Бертран Рассел в 1903 г.: он показал, что рассмотрение всех множеств, не включающих себя в качестве элементов, может привести к парадоксу в теории множеств.

Этот вывод Рассела указывал на то, что канторовское определение множества нельзя считать удовлетворительным. Эта проблема стала одной из важнейших в математической логике XX столетия. Тем не менее ни один из канторовских результатов ещё не был опровергнут в трансфинитной арифметике.

Ещё до 1903 г. Кантор всё чаще испытывает приступы маниакальной депрессии, и нам неизвестно, познакомился он с указанной работой Рассела или нет.

Болезнь вынудила Кантора просить в Университете в Галле разрешения на отпуск в течение осеннего семестра 1899 г. Его просьба была удовлетворена.

В ноябре того же года он направил письмо министру культуры Германии о своём намерении полностью отказаться от профессуры. Поскольку его зарплата оставалась прежней, он готов был согласиться на скромную должность в библиотеке.

Письмо заканчивалось требованием, чтобы министр сообщил свой ответ в ближайшие два дня. Если ему не предложат другую работу вместо преподавания, то, писал он, как человек, родившийся в России, он будет пытаться поступить на службу в русский дипломатический корпус.

По-видимому, ответ на просьбу Кантора не последовал, а на службу к императору Николаю II он не поступил. Тем не менее этот случай является характерным в поведении Кантора.

Так, например, ещё в 1884 г., после первого серьёзного приступа болезни он всерьёз рассматривал вопрос об отказе от математики ради философии. В конце 1899 г. он был госпитализирован из-за маниакальной депрессии, затем — в зимние семестры 1902 и 1903 гг. и позднее на всё более частые и длительные периоды.

Умер Кантор от сердечной недостаточности 6 января 1918 г. в психиатрической лечебнице в Галле.