Начало см. здесь.

Кац М., Улам С.
Математика и логика.

Ретроспектива и перспективы.

М.: Мир, 1971, сc. 8 — 14.

Что такое математика? Как она возникла, кто ее создал и кто делает ее сейчас?

Можно ли обрисовать путь ее развития и ее место в истории научной мысли? Можно ли предсказать ее будущее?

Эта книга — попытка разобраться в подобных вопросах и дать читателю представление о необъятности и глубине предмета.

Математика — это замкнутый в себе микрокосм, обладающий, однако, мощной способностью отражать и моделировать любые процессы мышления и, вероятно, всю науку вообще.

Она всегда приносила большую пользу и еще в большей мере продолжает приносить ее сейчас.

Можно даже пойти дальше и сказать, что математика необходима для покорения природы человеком и вообще для развития человека как биологического вида, ибо она формирует его мышление.

В самом деле, насколько можно проследить по летописям человеческой любознательности и стремления к знанию, математику всегда бережно лелеяли, заботясь о передаче накопленных истин новым поколениям.

Мы не будем пытаться дать определение математики, так как для этого пришлось бы втиснуть ее в какие-то границы.

Как увидит читатель, математика способна обобщить любую схему, изменить и обогатить ее. И все же каждый раз, когда это происходит, полученный результат составляет лишь часть математики.

Вероятно, самым характерным для этой науки является то, что она развивается путем постоянной самопроверки и все более глубокого осознания собственной структуры. Сама же эта структура непрерывно изменяется, причем иногда весьма радикально.

Поэтому любая попытка дать сколько-нибудь полное и исчерпывающее определение математики обречена, по нашему мнению, на неудачу.

Мы попробуем описать в историческом аспекте ряд наиболее важных моментов развития математической мысли.

При этом мы нередко будем задерживаться на вопросе о том, в какой мере прогресс в математике связан с "придумыванием" и до какой степени он носит характер "открытия".

Иначе говоря, вопрос состоит в том, диктуется ли выбор аксиом, определений и проблем окружающим нас внешним миром, который мы воспринимаем своими органами чувств, наблюдаем и измеряем при помощи разных приборов и инструментов,

или же эти аксиомы, определения и проблемы являются свободными творениями человеческого разума и определяются физиологической структурой мозга?

За последние пятьдесят лет математика подобно другим наукам претерпела большие изменения.

И дело не только в том, что значительно вырос объем математических знаний и изменились представления о важности тех или иных проблем. Другими в какой-то мере стали тон и цели математики.

Многие великие успехи физики, астрономии и других "точных" наук были достигнуты главным образом благодаря математике.

Свободно заимствуя средства, предоставляемые математикой, эти родственные науки в свою очередь снабжают ее новыми проблемами и открывают новые источники вдохновения.

Глубокое влияние на математику оказывает и развитие техники: так, создание быстродействующих вычислительных машин неизмеримо расширило возможности экспериментирования в самой математике.

В процессе своего развития математика постоянно возвращается к некоторым специфическим понятиям и темам; мы приведем много примеров, иллюстрирующих их вариации и взаимодействие.

Одним из таких понятий, наиболее характерных для математики, является бесконечность. Мы уделили этой теме довольно много места, пытаясь показать, как возникло представление о бесконечности и как оно затем развивалось и уточнялось.