Начало см. здесь и здесь.

Меня будут интересовать также направленные отрезки на евклидовой плоскости, на которой дополнительно нанесена квадратная целочисленная решетка точек. Стандартные определения, касающиеся направленных отрезков, см., например, в книге Ильина и Поздняка. Пионерские предложения М. Шаля о "знаках отрезков" см. здесь.

2. Радиус-вектор точки

Радиус-вектором некоторой точки M на евклидовой плоскости я буду называть направленный отрезок, начало которого совпадает с началом координат, а конец совпадает с данной точкой M. Это определенным образом согласуется со стандартным определением радиус-вектора точки на евклидовой плоскости. Хотя в свете дополнительных пояснений от В. Г. Болтянского и И. М. Яглома, мы должны считать радиус-вектор точки именно некоторым направленным отрезком.

3. Радиус-вектор видимой точки рационального луча

Согласно Клейну, точку луча, имеющую целочисленные координаты, я буду называть целочисленной точкой этого луча. На каждом рациональном луче лежит бесконечно много целочисленных точек; их можно естественным образом занумеровать, как это показано на рисунке ниже на примере луча, отвечающего понижающей октаве:

Следуя Харди и Райту, я буду называть 1-ю целочисленную точку каждого рационального луча его видимой точкой. Следовательно, можно говорить о радиус-векторе видимой точки данного рационального луча. На рисунке ниже изображен радиус-вектор видимой точки рационального луча, отвечающего интервалу понижающей октавы:

На рисунке ниже изображен радиус-вектор видимой точки рационального луча, отвечающего интервалу унисона: