|
9.6.8.2.2.3. Стандартная модель теории пространства элементарных звучий
|
|
интуитивное представление о которой можно получить, например,
у Дэвенпорта.
Расшифровка символов, заявленных в сигнатуре системы
N:
N обозначает множество всех натуральных чисел,
+ обозначает операцию сложения натуральных чисел,
обозначает (частичную) операцию
вычитания натуральных чисел,
обозначает операцию
умножения натуральных чисел,
<
обозначает отношение "строго меньше" на множестве натуральных чисел,
1
обозначает выделенный элемент во множестве натуральных чисел, называемый
"единицей"
(первоначальное описание свойств этих операций, отношения и выделенного элемента см.
у Дэвенпорта).
Пусть R обозначает декартов квадрат множества N всех натуральных чисел:
То есть,
по самому своему определению,
R есть множество всех
упорядоченных пар вида
< m, n >, где
m и
n есть некоторые натуральные числа из множества
N.
где R, как было указано выше, есть множество всех упорядоченных пар < m, n > с m и n принадлежащими множеству N всех натуральных чисел;
есть частичная бинарная операция на множестве
R, сопоставляющая любым двум упорядоченным парам
< m, k > и
< n, k > натуральных чисел упорядоченную пару
< (m + n), k > натуральных чисел (прототип этой операции заимствован
отсюда и
отсюда);
есть частичная бинарная операция на множестве
R, сопоставляющая любым двум упорядоченным парам
< k, m > и
< k, n > натуральных чисел упорядоченную пару
< k, (m + n) > натуральных чисел (прототип этой операции заимствован
отсюда);
есть частичная бинарная операция на множестве
R, сопоставляющая любым двум упорядоченным парам
< m, k > и
< k, n > натуральных чисел упорядоченную пару
< m, n > натуральных чисел (прототип этой операции заимствован
отсюда);
есть всюду определенная бинарная операция на множестве
R, сопоставляющая любым двум упорядоченным парам
< m1, n1 > и
< m2, n2 > натуральных чисел упорядоченную пару
< (m1 + m2), (n1 + n2) > натуральных чисел (эту операцию иногда называют
"операцией медианты"; см., например,
здесь и
здесь);
есть частичная бинарная операция на множестве
R, сопоставляющая любым двум упорядоченным парам
< m1, n1 > и
< m2, n2 > натуральных чисел,
таких что
m2 < m1 и
n2 < n1,
упорядоченную пару
< (m1 - m2), (n1 - n2) > натуральных чисел
(по своему смыслу эта частичная бинарная операция является операцией,
обратной для определенной выше операции медианты);
есть всюду определенная бинарная операция на множестве
R, сопоставляющая любым двум упорядоченным парам
< m1, n1 > и
< m2, n2 > натуральных чисел,
упорядоченную пару
< m1, n2 > натуральных чисел
(мы будем называть эту операцию
"верхней диагональной стрелкой"; интуитивно - визуальное представление о ней можно получить
здесь);
есть всюду определенная бинарная операция на множестве
R, сопоставляющая любым двум упорядоченным парам
< m1, n1 > и
< m2, n2 > натуральных чисел,
упорядоченную пару
< m2, n1 > натуральных чисел
(мы будем называть эту операцию
"нижней диагональной стрелкой"; интуитивно - визуальное представление о ней можно получить
здесь);
V
есть унарная операция на множестве R, сопоставляющая любой паре < m, n > натуральных чисел упорядоченную пару < m, (m + n) > натуральных чисел;
H
есть унарная операция на множестве R, сопоставляющая любой паре < m, n > натуральных чисел упорядоченную пару < (m + n), n > натуральных чисел;
s
есть унарная операция на множестве R, сопоставляющая любой паре < m, n > натуральных чисел упорядоченную пару < (m + 1), (n + 1) > натуральных чисел;
N
есть унарная операция на множестве R, сопоставляющая любой паре < m, n > натуральных чисел упорядоченную пару < n, m > натуральных чисел;
VQ
есть унарная операция на множестве
R, сопоставляющая любой паре
< m, n > натуральных чисел упорядоченную пару
< m, m > натуральных чисел (прототип этой операции заимствован
отсюда);
HQ
есть унарная операция на множестве
R, сопоставляющая любой паре
< m, n > натуральных чисел упорядоченную пару
< n, n > натуральных чисел (прототип этой операции заимствован
отсюда);
=
есть бинарное отношение на множестве
R, определяемое следующим образом:
< m1, n1 > = < m2, n2 > тогда и только тогда, когда
m1 = m2 и
n1 = n2
(это
отношение равенства упорядоченных пар);
есть бинарное отношение на множестве
R, определяемое следующим образом:
< m1, n1 > < m2, n2 > тогда и только тогда, когда
m1n2 = n1m2
(прототипом для этого отношения является так называемое
"отношение равенства дробей");
O
есть унарное отношение на множестве R, определяемое следующим образом:
O(< m, n > ) тогда и только тогда, когда
m = n;
D
есть унарное отношение на множестве
R, определяемое следующим образом:
N(< m, n > ) тогда и только тогда, когда
.