Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Логика и методология дедуктивных наук \ Grundlagen der Musiktheorie (S. N. Furs, 2013 — ) \ Версия 2 (20 декабря 2013г. — ) \ Теория пространства элементарных звучий \

9.6.8.2.2.3. Стандартная модель теории пространства элементарных звучий

Начало см. здесь и здесь.
При построении "стандартной модели" для теории пространства элементарных звучий, я буду исходить из системы натуральных чисел:
интуитивное представление о которой можно получить, например, у Дэвенпорта. Расшифровка символов, заявленных в сигнатуре системы N:
N обозначает множество всех натуральных чисел,
+ обозначает операцию сложения натуральных чисел,
обозначает (частичную) операцию вычитания натуральных чисел,
обозначает операцию умножения натуральных чисел,
< обозначает отношение "строго меньше" на множестве натуральных чисел,
1 обозначает выделенный элемент во множестве натуральных чисел, называемый "единицей" (первоначальное описание свойств этих операций, отношения и выделенного элемента см. у Дэвенпорта).

Пусть R обозначает декартов квадрат множества N всех натуральных чисел:
То есть, по самому своему определению, R есть множество всех упорядоченных пар вида < m, n >, где m и n есть некоторые натуральные числа из множества N.
Я определяю стандартную модель для теории пространства элементарных звучий как систему вида:
где R, как было указано выше, есть множество всех упорядоченных пар < m, n > с m и n принадлежащими множеству N всех натуральных чисел;
есть частичная бинарная операция на множестве R, сопоставляющая любым двум упорядоченным парам < m, k > и < n, k > натуральных чисел упорядоченную пару
< (m + n), k > натуральных чисел (прототип этой операции заимствован отсюда и отсюда);
есть частичная бинарная операция на множестве R, сопоставляющая любым двум упорядоченным парам < k, m > и < k, n > натуральных чисел упорядоченную пару
< k, (m + n) > натуральных чисел (прототип этой операции заимствован отсюда);
есть частичная бинарная операция на множестве R, сопоставляющая любым двум упорядоченным парам < m, k > и < k, n > натуральных чисел упорядоченную пару
< m, n > натуральных чисел (прототип этой операции заимствован отсюда);
есть всюду определенная бинарная операция на множестве R, сопоставляющая любым двум упорядоченным парам < m1, n1 > и < m2, n2 > натуральных чисел упорядоченную пару < (m1 + m2), (n1 + n2) > натуральных чисел (эту операцию иногда называют "операцией медианты"; см., например, здесь и здесь);
есть частичная бинарная операция на множестве R, сопоставляющая любым двум упорядоченным парам < m1, n1 > и < m2, n2 > натуральных чисел,
таких что m2 < m1 и n2 < n1, упорядоченную пару < (m1 - m2), (n1 - n2) > натуральных чисел (по своему смыслу эта частичная бинарная операция является операцией, обратной для определенной выше операции медианты);
есть всюду определенная бинарная операция на множестве R, сопоставляющая любым двум упорядоченным парам < m1, n1 > и < m2, n2 > натуральных чисел, упорядоченную пару < m1, n2 > натуральных чисел (мы будем называть эту операцию "верхней диагональной стрелкой"; интуитивно - визуальное представление о ней можно получить здесь);
есть всюду определенная бинарная операция на множестве R, сопоставляющая любым двум упорядоченным парам < m1, n1 > и < m2, n2 > натуральных чисел, упорядоченную пару < m2, n1 > натуральных чисел (мы будем называть эту операцию "нижней диагональной стрелкой"; интуитивно - визуальное представление о ней можно получить здесь);
V есть унарная операция на множестве R, сопоставляющая любой паре < m, n > натуральных чисел упорядоченную пару < m, (m + n) > натуральных чисел;
H есть унарная операция на множестве R, сопоставляющая любой паре < m, n > натуральных чисел упорядоченную пару < (m + n), n > натуральных чисел;
s есть унарная операция на множестве R, сопоставляющая любой паре < m, n > натуральных чисел упорядоченную пару < (m + 1), (n + 1) > натуральных чисел;
N есть унарная операция на множестве R, сопоставляющая любой паре < m, n > натуральных чисел упорядоченную пару < n, m > натуральных чисел;
VQ есть унарная операция на множестве R, сопоставляющая любой паре < m, n > натуральных чисел упорядоченную пару < m, m > натуральных чисел (прототип этой операции заимствован отсюда);
HQ есть унарная операция на множестве R, сопоставляющая любой паре < m, n > натуральных чисел упорядоченную пару < n, n > натуральных чисел (прототип этой операции заимствован отсюда);
=  есть бинарное отношение на множестве R, определяемое следующим образом:
< m1, n1 > = < m2, n2 > тогда и только тогда, когда m1 = m2 и n1 = n2 (это отношение равенства упорядоченных пар);
есть бинарное отношение на множестве R, определяемое следующим образом:
< m1, n1 > < m2, n2 > тогда и только тогда, когда m1n2 = n1m2 (прототипом для этого отношения является так называемое "отношение равенства дробей");
O есть унарное отношение на множестве R, определяемое следующим образом:
O(< m, n > ) тогда и только тогда, когда m = n;
D есть унарное отношение на множестве R, определяемое следующим образом:
N(< m, n > ) тогда и только тогда, когда .
К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Логика и методология дедуктивных наук \ Grundlagen der Musiktheorie (S. N. Furs, 2013 — ) \ Версия 2 (20 декабря 2013г. — ) \ Теория пространства элементарных звучий \