История математики с древнейших времен
до начала XIX столетия.
Под редакцией А.П. Юшкевича.

Том 1: С древнейших времен до начала Нового времени.

М.: Наука, 1970, сс. 71 — 72.

(Саму эту книгу можно взять здесь)

Греки исходили из того, что единица E неделима, поэтому они говорили не о долях единицы , а об отношениях целых чисел , т. е. в сущности имели в виду пары целых чисел. На этом и было основано применение теории отношений к теории музыки: всякому музыкальному интервалу, т. е. паре звуков, ставили в соответствие отношение высот этих звуков, т. е. пару (A, B) целых чисел, измеряющих эти высоты звуков.

Согласно VII книге "Начал" две пары чисел (A, B) и (C, D) пропорциональны или имеют одинаковое отношение, если у A и B существует такой общий делитель F, а у C и D — делитель G, что:

В частности, одно из чисел, m или n, могло равняться единице.

Разумеется, уже пифагорейцы знали, что отношение пропорциональности транзитивно, т. е. из пропорциональности пар (A, B) и (C, D) и пропорциональности пар (C, D) и (E, F) вытекает пропорциональность пар (A, B) и (E, F), и, следовательно, отношение пропорциональности является отношением типа равенства. Итак, все пары целых чисел разбивались на непересекающиеся классы пар, имеющих одно и то же отношение:

С нашей точки зрения, каждому такому классу можно поставить в соответствие новый объект — рациональное число. Древние выражали это иначе: они не вводили понятие класса, а выбирали из множества пар, имеющих одинаковое отношение, наименьшую пару A₀ : B₀ , относительно которой доказывали:

Отсюда видно, что наименьшая пара полностью характеризовала класс, к которому принадлежала. Заметим еще, что понятие наименьшей пары в точности соответствует нашему понятию несократимой дроби.

Как видно, вся эта теория пар основывается на понятиях из общей теории делимости — общий делитель двух чисел, взаимная простота двух чисел и т. п. В основе всех этих понятий и большей части доказательств лежит алгоритм нахождения общего наибольшего делителя двух чисел, называемый в настоящее время алгоритмом Евклида.

В "Началах" над отношениями целых чисел производится только одна операция — составление отношений, которая соответствует умножению дробей. Отношение (A, C) называется составленным из отношений (A, B) и (B, C), что мы будем далее записывать в виде:

Это название объясняется, вероятно, тем, что при составлении музыкальных интервалов, т. е. при переходе от интервалов, представляющих собой пары звуков с высотами A, B и B, C, к интервалу, представляющему пару звуков с высотами A, C, происходит составление соответственных отношений.

В предложении VII, 14 "Начал" доказывается, что если A : B = F : G  и
B : C = G : H,  то  A : C = F : H,  т. е. результат составления зависит не от того, каких представителей мы выбираем в классах пар, к которым принадлежат A : B и B : C, а только от самих этих классов. Таким образом, операция составления определена для классов пар, имеющих одинаковое отношение. (Это, пожалуй, первый известный нам пример фактор-закона композиции, перенесенного с элементов на классы.)

В VIII книге "Начал" показывается, как составить любые отношения A : B и C : D. Для этого строятся такие наименьшие числа F, G, H, что A : B = F : G  и
C : D = G : H,  тогда

(предложение VIII, 4-5).

Мы видим, с какой удивительной строгостью, общностью и глубоким пониманием существа проблемы была построена древними первая теория пар и введен закон композиции для этих новых объектов.