Что лучше, зрение или слух? Казалось бы, что зрение лучше. Однако, исторически случилось так, что теоретическая арифметика, основа основ современной науки, была зарождена "со стороны слуха" (как известно, она возникла из исследований по музыкальной гармонии, которые в V веке до н. э. проводили пифагорейцы).

Античные и средневековые мыслители были настолько поражены открытой ими "числовой" природой музыки, что в ранг высшего эстетического принципа возводили способность воспринимать не саму звучащую музыку, а стоящую за ней гармонию чисел и числовых отношений. Так, например, Алкуин, давая определение музыки, называл ее "наукой, говорящей о числах, которые в звуках обретаются".

Итак, в музыке числа обретаются. А в живописи они могут обретаться? Могут конечно! Особенно если речь идет о живописи некоторого крайнего толка, каковой является живопись Мондриана и Малевича. В такого рода живописи числа обретаются особенно охотно, что я и намерен продемонстрировать в данном Разделе, представив к рассмотрению вполне работоспособную арифметику, построенную на основе соответствующих "картин".

Эти "картины" я буду называть евклидовыми прямоугольниками, имея в виду тот факт, что их структура определяется алгоритмом Евклида (впрочем, вы можете ничего и не знать об алгоритме Евклида; понимание последующего материала от этого не пострадает). Конечно же, евклидовы прямоугольники вполне возможно трактовать как некоторые "мондриано-подобные картины" (во всяком случае, они недалеко от них ушли).

Точнее, здесь следовало бы говорить о мондриано-подобных картинах с малевичевским ограничением, т. е. о таких мондриано-подобных картинах, в которых каждый прямоугольный блок является квадратом. Это ограничение позволяет трактовать евклидовы прямоугольники также и как некоторые двумерные архитектоны, которые путем несложных операций получаются из единственной "квадратной первоформы" (в духе методологии Малевича).

Евклидовы прямоугольники способны вполне адекватно отображать природу чисел (конкретно — положительных рациональных чисел). По этой причине их можно было бы назвать "живописными числами" — по аналогии с числами "музыкальными", которые распознавал в музыке св. Августин.

Вообще же, евклидовы прямоугольники обеспечивают уникальные возможности по визуализации рациональных чисел и совершаемых над ними действий, что позволяет построить в итоге нечто вроде "чисто визуальной арифметики". В ней при обозначении чисел можно обойтись без использования общепринятой математической символики, а решение арифметических задач свести к серии манипуляций с простыми визуальными объектами (то есть можно в какой-то степени реализовать идею "правополушарной арифметики").

Пока что эта программа реализована для операций сложения и умножения. Впоследствии к ним добавятся другие основные арифметические операции, а также еще несколько более экзотических.

Изложение "арифметики на квадратах", предпринятое в данном Разделе, является "теоретическим" и призвано продемонстрировать тот факт, что эта арифметика на самом деле функционирует "корректно". В противоположность этому, в Разделе 4.9 планируется рассмотреть использование "арифметики на квадратах" в качестве некоторого весьма эффективного "дидактического средства" для ранего обучения детей математике.