Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Логика и методология дедуктивных наук \ Основания математики \

9.6.4.5. Набросок "алгебры прямоугольников"

 
Объекты, с которыми имеет дело математика, например числа и геометрические фигуры, по своей природе абстрактны и число их в каждом конкретном исследовании обычно бесконечно.
Хотя наши идеи об этих объектах находятся в тесном родстве с нашими восприятиями различных группировок материальных предметов,
весьма редко случается, чтобы мы могли решить математический вопрос путем непосредственного обращения к реальному миру.
Например, эксперименты с карандашом, бумагой, линейкой и циркулем могут привести нас к заключению, что все медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке,
но никакое количество экспериментов не помогло бы нам проверить истинность этого утверждения для бесконечного числа возможных треугольников.
Специфически математический метод для решения подобных вопросов состоит в следующем.
Некоторые утверждения, касающиеся рассматриваемых объектов, признаются очевидными ... Эти утверждения принято называть аксиомами или постулатами.
Как только основные понятия и аксиомы установлены, все дальнейшее в математике получается посредством логических рассуждений, в которых все новые понятия, если они появляются, определяются через предыдущие.
С. Феферман
9.6.4.5.1. Основная группа аксиом
9.6.4.5.2. Определение квадратов, а также операций V и H      9.6.4.5.3. Родственные системы
Любопытно, что существует система, в которой как бы "удваиваются" все конструкции и понятия арифметики Пресбургера — этой "наипростейшей арифметической системки". Например, если в арифметике Пресбургера есть одна операция сложения, то здесь будет две; и так — абсолютно во всем.
По этой причине мы можем рассматривать ее как "систему совершенной двойственности" — т. е. как систему, похожую, например, на Булеву алгебру, в которой аналогичная двойственность тоже имеет место.
Мы будем называть эту систему "алгеброй прямоугольников", потому что последние представляют собой естественные визуальные образы, при помощи которых нам будет удобно иллюстрировать свои теоретические построения.
(напомним, что в арифметике Пресбургера такими визуальными образами были отрезки прямых)
По-видимому, "алгебра прямоугольников" сможет служить удобной моделирующей средой для конструкций так называемой "геометрической алгебры" (см. о ней также здесь), в которой именно эти фигуры (т. е. прямоугольники) и превалировали.
Еще одним интересным приложением могла бы стать попытка математической экспликации идей Мондриана, сознательно положившего двойственность между "горизонтальным" и "вертикальным" в основу своей философии живописи.
В качестве "базовой" будет построена "дискретная" версия алгебры прямоугольников, в которой горизонтальная и вертикальная стороны каждого прямоугольника измеряются натуральными числами.
Схематически такие прямоугольники будут изображаться так, как это показано на данном рисунке справа.
Основными или элементарными понятиями "алгебры прямоугольников" будут три операции (а также еще два отношения и , о которых говорится здесь):
  Бинарная операция "горизонтального сложения прямоугольников";
  бинарная операция "вертикального сложения прямоугольников";
  унарная операция    "обращения прямоугольников";
Рисунок дает интуитивное представление об операции горизонтального сложения прямоугольников.
Далее мы будем схематически изображать эту операцию так, как это показано на данном рисунке справа.
В принципе эта операция аналогична операции сложения в арифметике Пресбургера (если числа в последней представлять при помощи "бамбуковых удочек" в смысле Павлова). Нужно только отметить, что операция горизонтального сложения прямоугольников является частичной, а не всюду определенной бинарной операцией, поскольку, как предполагается, она определена только на прямоугольниках с одинаковой длиной вертикальных сторон.
И, значит, для того, чтобы воплотить идею о "двойственности" между горизонталью и вертикалью, играющую такую большую роль в философии Мондриана, я добавляю "в пару" к операции горизонтального сложения прямоугольников еще и операцию вертикального сложения прямоугольников.
Рисунок дает интуитивное представление об операции вертикального сложения прямоугольников.
Далее мы будем схематически изображать эту операцию так, как это показано на данном рисунке справа.
Наряду с операцией горизонтального сложения она будет рассматриваться в качестве основной или элементарной операции в "алгебре прямоугольников".
Операция вертикального сложения прямоугольников также является частичной, а не всюду определенной бинарной операцией, поскольку, как предполагается, она определена только на прямоугольниках с одинаковой длиной горизонтальных сторон.
Наконец, еще одной элементарной операцией "алгебры прямоугольников" будет операция обращения прямоугольников. Эта операция является уже всюду определенной, т. к. определена на любом прямоугольнике.
Рисунок дает интуитивное представление об операции обращения прямоугольника.
Далее мы будем схематически изображать эту операцию как показано на данном рисунке справа.
9.6.4.5.1. Основная группа аксиом
9.6.4.5.2. Определение квадратов, а также операций V и H      9.6.4.5.3. Родственные системы
К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Логика и методология дедуктивных наук \ Основания математики \