Начало см. здесь и здесь.

Разъяснения относительно интервала пифагорейского хроматического полутона (его называют также апотомой) см., например, у Немировского. С этим интервалом у Немировского связывается число 2048/2187 (точно так же, как и у Римана в его списке 36 пифагоровых величин).

Мы будем связывать с апотомой обратную величину 2187/2048, как это принято на странице о квинтовой спирали и как это делает впоследствии и сам Немировский. Поскольку 2187/2048 = (3 в степени 7)/(2 в степени 11), то при наших соглашениях о базисных векторах e1 и e2, координатами вектора, отвечающего ходу на апотому вверх, будут x = 7 и y = 11.

Эти координаты означают, что ход на апотому вверх (от некоторого звука) равносилен 7 ходам на дуодециму (от того же звука) с последующими 11 ходами на октаву вниз. На нашем "листе тетрадки в клеточку" мы можем изобразить ход на апотому вверх (в данном случае, от звука фа) в виде направленного отрезка, приложенного к точке, отвечающей звуку фа. Конец этого направленного отрезка будет указывать на звук фа-диез (нанесение на "лист тетрадки в клеточку" точки, отвечающей звуку фа предпринималось здесь).