Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \ Первый учебник по теории чисел \

7.3.1.8.2. И знаменитая "теория делимости"

 
Общая теория делимости дошла до нас в изложении Евклида ( книга VII и часть книги IX).  В основе ее лежит алгоритм нахождения общего наибольшего делителя (алгоритм Евклида). После введения этого алгоритма, можно уже вполне строго доказать основную теорему теории делимости (т. е. теорему об однозначности разложения на простые множители).
Закон однозначности разложения на простые множители является основой всей арифметики целых чисел. В XIX веке при попытке построить арифметику целых чисел поля K = Q(θ), где Q — поле рациональных чисел, а θ — корень неприводимого над Q алгебраического уравнения с целыми коэффициентами и коэффициентом 1 при старшем члене, математики столкнулись с большими трудностями. Дело в том, что закон однозначности разложения на простые множители для этих чисел не выполнялся!
Это обстоятельство, не позволявшее построить в кольцах целых алгебраических чисел арифметику, аналогичную обычной, побудило Куммера, Золотарева, Дедекинда, Кронекера и других математиков по новому определить само понятие простого числа. Они пришли к мысли, что основным, определяющим свойством простого числа является не то, что оно не разлагается в произведение двух множителей, а то, что доказали и древние греки: произведение двух чисел делится на простое число в том и только в том случае, если на него делится один из сомножителей.
Для восстановления закона однозначности в кольца алгебраических чисел были введены новые элементы: идеальные множители, по терминологии Куммера и Золотарева, или идеалы Дедекинда. Только после этого стало возможным строить арифметику таких колец.
Тем более удивительно, что в античной Греции, в которой рассматривались только целые рациональные числа, теория делимости была построена с безупречной строгостью. Эта теория — одно из наиболее выдающихся достижений греческой математики.
История математики ...
7.3.1.8.2.1. Определения из книги VII "Начал" Евклида, нужные для построения "теории делимости"
7.3.1.8.2.2. Обзор "теории делимости" из книг VII и IX "Начал" Евклида