Аксиома коммутативности и одно свойство четных чисел

Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Логика и методология дедуктивных наук \ Основания математики \ Наипростейшая арифметическая системка \

9.6.4.1.2. Аксиома коммутативности
и одно свойство четных чисел

В качестве второй аксиомы для нашей системы мы выбираем аксиому коммутативности:

Аксиома (коммутативность операции + сложения).
Для любых чисел x,y, x + y = y + x.

Принятие этой аксиомы позволяет нам доказать самое первое (!) предложение самой первой (!) научной теории (если "научными" считать теории, основанные на дедуктивном методе) — предложение о том, что сумма четных чисел является четным числом. Понятно, что для этого нужно сначала (следуя установлениям Расевой - Сикорского) легально определить понятие "четного числа" в нашей системе. Сделаем это:

Определение (четных чисел).

Для любого числа x,

x есть четное число тогда и только тогда,

когда существует число y

такое, что x = y + y.

Теперь мы в состоянии доказать желаемую теорему.

Теорема (сумма двух четных чисел является четным числом).

Для любых чисел x,y,

если x есть четное число и y есть четное число,

то (x + y) есть четное число.

Доказательство.

(1) x есть четное число - посылка;

(2) y есть четное число - посылка;

(3) Существует число u
такое, что x = u + u - из (1) по Определению четных чисел;

(4) Существует число w
такое, что y = w + w - из (2) по Определению четных чисел;

(5) x + y = (u + u) + (w + w) - из (3), (4);

(6) x + y = u + (u + (w + w)) - из (5) по Аксиоме об ассоциативности операции + сложения;

(7) x + y = u + ((u + w) + w) - из (6) по Аксиоме об ассоциативности операции + сложения;

(8) x + y = u + (w + (u + w)) - из (7) по Аксиоме о коммутативности операции + сложения;

(9) x + y = (u + w) + (u + w) - из (8) по Аксиоме об ассоциативности операции + сложения;

(10) Существует число v (а именно, v = u + w)
такое, что x + y = v + v - из (9);

(11) x + y есть четное число - из (10) по Определению четных чисел.

Изящество этой дедукции вполне способно вызвать чувство легкого опьянения, о котором пишет Б. Рассел. Кроме того и мысль, высказанная в свое время Декартом, о том что "если воздерживаться от того, чтобы принимать за истинное что-либо, что таковым не является, и всегда соблюдать порядок, в каком следует выводить одно из другого, то не может существовать истин ни столь отдаленных, чтобы они были недостижимы, ни столь сокровенных, чтобы нельзя было их раскрыть", начинает все больше и больше укореняться в нашем мозгу.

К началу данной страницы