Следующей после аксиомы ассоциативности в "наипростейшей арифметической системке" постулировалась аксиома коммутативности. Точно также мы поступим и при аксиоматизации системы RA, не забывая при этом о корректной работе с пресуппозициями и , а также о необходимости раздваивать все на "горизонтальное" и "вертикальное".

Как и в случае с аксиомами ассоциативности, добавляем к постулированной аксиоме коммутативности для горизонтальной операции сложения еще одну "двойственную" ей аксиому для вертикальной операции сложения (интуитивное представление об операции вертикального сложения см. здесь, а об отношении вертикальной совмещаемости — здесь).