Мышление в терминах пар противоположностей

Все рассмотренные бинарные деревья (здесь, здесь и здесь) можно считать результатом мышления в терминах "пар противоположностей". Этот стиль мышления уходит в глубокую древность. См. об этом у В. В. Иванова здесь и здесь, а также у Рэймонда Ло с "китайской спецификой":

Символ Тай Чи — наиболее важный и наглядный символ в китайской философии. Круг с белой и черной сторонами символизирует двойственность инь и ян — двух сторон всех вещей, присущих всему во Вселенной. Концепция Тай Чи предполагает, что все во Вселенной обладает двойственностью инь и ян, подобно двум сторонам одной монеты. Например, всегда присутствует различие между мужчиной и женщиной, добром и злом, черным и белым, верхом и низом, темным и светлым и т. д.

С точки зрения китайской космологии, как только возникли аспекты инь и ян, все приобрело смысл и так смысл появился во всей Вселенной. Концепция Тай Чи — инь и ян — выглядит очень просто, но именно она является фундаментальной характеристикой Вселенной и придает значение жизни. Нетрудно представить себе приземление на планете, где нет инь и ян, мужчин и женщин, добра и зла, черного и белого, верха и низа ... Это был бы бессмысленный мир.

Мозговой штурм о природе пар противоположностей, организованный на форуме у Экслера, весьма способствовал прояснению их сути:

Эта идея сформулирована, например, у Б. Л. ван дер Вардена в том месте, где он давал характеристику раннепифагорейскому способу мышления:

Математика была одной из составных частей их религии. Бог, учили они, положил числа в основу мирового порядка. Бог — это единое, а мир — многое и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и соединяет все в космос, есть гармония.

За Musica mundana, по учению пифагорейцев, в космической иерархии следует Musica humana, или человеческая музыка, ибо человеческому существу также присуща гармония, отражающая равновесие противоположных жизненных сил. Гармония есть здоровье, болезнь же есть дисгармония, отсутствие консонантности. Отсюда беспрецедентное значение музыки для жизни человека в учении Пифагора.

Наконец, моя собственная математическая экспликация этой идеи в виде целого спектра соответствующих алгебр, последовательно развивается в Шестом разделе данной Презентации.

Результатом мышления в терминах "пар противоположностей" является также и то, что каждая уважающая себя система, созданная интеллектом человека, обзаводится со временем своим внутренним дуализмом. Эта мысль была основной во время наших весьма стимулирующих дискуссий на Форуме в конце 2012 — начале 2013 гг. При этом, как я теперь вижу, в особенности матроидная двойственность (осознанная сравнительно недавно), может сыграть ключевую роль в "триграммном прорыве" — соединении древнекитайских интуиций с современной западной наукой.

Ведь упомянутый ранее код Хэмминга (7, 4) и система, известная как "плоскость Фано" (на русском языке см. здесь), плавно перетекают друг в друга, а общим и главным в них является, как раз-то, наличие феномена матроидной двойственности (у Айгнера здесь этот феномен проиллюстрирован на примере плоскости Фано).

Конструкции, связанные с плоскостью Фано, могут быть продемонстрированы в эффектной игровой форме; в нашем же случае все это будет сводиться в конечном итоге к различным манипуляциям с прямоугольной диаграммой Венна: к ее разрезанию на отдельные прямоугольники и с последующим собиранием ее из них в определенном порядке снова.