Допустим, что мы захотели сложить какие-либо два рациональных числа x и y, представленные несократимыми обыкновенными дробями (ради определенности, предположим что x = 3/2 и y = 1/3). Действуя по известным алгоритмам, которые еще раз напоминаются на Странице 7.4.2.1, мы получаем результат:

Если те же самые рациональные числа x и y изобразить в виде соответствующих евклидовых прямоугольников, операция сложения может быть записана в следующем виде:

Весь вопрос заключается в том, насколько просто можно перейти от аргументов x и y, изображенных евклидовыми прямоугольниками, к правильному результату, также изображенному евклидовым прямоугольником. То есть насколько простыми будут алгоритмы счета в "арифметике на квадратах".

В данном Разделе мы желаем показать, что эти алгоритмы будут очень простыми. По сути дела, они сводятся к различным комбинациям всего лишь только двух основополагающих операций, а также к стандартному алгоритму закладывания прямоугольной области, который тоже очень прост.

Как известно, обыкновенные дроби наиболее просто складываются в случае, когда слагаемые имеют одинаковые знаменатели. То же самое имеет место и для евклидовых прямоугольников: они наиболее просто складываются тогда, когда имеют одинаковую длину вертикальных сторон (для краткости мы будем называть их вертикально-равными).

Алгоритм сложения вертикально-равных прямоугольников изложен в Разделе 7.2.1.2. Если же исходные евклидовы прямоугольники не являются вертикально-равными, они должны быть приведены к такому виду при помощи методов из Раздела 7.2.1.1 (в случае обыкновенных дробей эта процедура соответствует приведению дробей к общему знаменателю).

Таким образом, полный алгоритм сложения евклидовых прямоугольников состоит из двух этапов: приведения их (если это нужно) к вертикально-равному виду и последующего сложения вертикально-равных прямоугольников. Примеры работы полного алгоритма приведены в Разделе 7.2.1.3.