Начало см. здесь и здесь.

Первоначально мои любимые операторы V и H были определены на множестве всех упорядоченных пар натуральных чисел. Однако, эти операторы могут быть естественныи образом доопределены и как действующие на более широком множестве всех упорядоченных пар строго положительных вещественных (действительных) чисел.

Во всех дальнейших рассмотрениях мы будем существенным образом опираться на факт наличия строго зафиксированного взаимно однозначного соответствия между множеством всех точек первого квадранта координатной плоскости, не лежащих на осях координат, и множеством всех упорядоченных пар строго положительных вещественных (действительных) чисел. (об этом взаимно однозначном соответствии см., например, у Делоне-Райкова).

В этом взаимно однозначном соответствии точке W, например,

будет сопоставлена упорядоченная пара строго положительных вещественных (действительных) чисел (по построению точки W).

(Здесь есть некоторое иррациональное число (как и корень из двух)

При записи упорядоченных пар вещественных чисел мы будем использовать угловые скобки (вместо круглых, которые используют, в частности, Делоне-Райков). Т. е. будем писать, например, , а не . Так нам будет по ряду причин удобнее.

2. Расширение области определения операторов V и H

Естественным образом расширяем область действия операторов V и H с множества всех упорядоченных пар натуральных чисел до множества всех упорядоченных пар строго положительных вещественных (действительных) чисел следующим образом.

Полагаем, что унарная операция V сопоставляет каждой упорядоченной паре < x, y > строго положительных вещественных чисел упорядоченную пару < x, (x + y) > вещественных чисел,

а унарная операция H сопоставляет каждой упорядоченной паре < x, y > строго положительных вещественных чисел упорядоченную пару < (x + y), y > вещественных чисел.

Очевидно, что применение оператора V или оператора H к какой-либо упорядоченной паре из множества всех упорядоченных пар строго положительных вещественных чисел не выводит за пределы этого множества. То есть множество всех упорядоченных пар строго положительных вещественных чисел замкнуто относительно операций V и H.

Таким образом оператор V, например, преобразует упорядоченную пару строго положительных вещественных чисел, соответствующую точке W, в упорядоченную пару строго положительных вещественных чисел, соответствующую некоторой точке W', лежащей в первом квадранте координатной плоскости;

а оператор H преобразует ту же самую упорядоченную пару в упорядоченную пару строго положительных вещественных чисел, соответствующую уже какой-то другой точке W'', но тоже лежащей в первом квадранте координатной плоскости.

Очевидно также, что наше "координатное" определение операторов V и H согласовано с их чисто геометрическим определением как некоторых преобразований сдвига (если принять во внимание все сделанные предположения).

Продолжение см. здесь.